Soru:
Yandaki şekilde \( [BA] \parallel [DE] \) olacak şekilde bir ABC üçgeni ve içinden geçen bir DE doğru parçası çizilmiştir. \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 2 \) cm ve \( |DE| = 6 \) cm ise, \( |BC| \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Bir üçgenin kenarlarına paralel çizilen bir doğru, üçgeni benzer üçgenlere ayırır. Bu, Temel Benzerlik Teoremi'dir.
- ➡️ İlk adım, benzer üçgenleri tespit etmektir. \( [BA] \parallel [DE] \) olduğu için \( \triangle ABC \sim \triangle DBE \) benzerliği yazılabilir.
- ➡️ İkinci adım, benzerlik oranını bulmaktır. Karşılıklı kenarlar \( |AB| \) ve \( |DB| \) değildir! Benzerlik oranını, bölümlerin oranından bulmalıyız.
- \( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 2 = 6 \) cm
- Küçük üçgenin \( |DB| \) kenarının, büyük üçgenin \( |AB| \) kenarına oranı benzerlik oranını verir: \( k = \frac{|DB|}{|AB|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
- ➡️ Üçüncü adım, bu oranı kullanarak istenen kenarı bulmaktır. \( |DE| \) kenarı, \( |AC| \) kenarına karşılık gelir. Ancak bizden \( |BC| \) isteniyor. \( |BC| \) kenarının küçük üçgendeki karşılığı \( |BE| \) kenarıdır. Oranı kuralım:
\( \frac{|BE|}{|BC|} = \frac{1}{3} \)
Fakat \( |BE| \) bilinmiyor. Bunun yerine, \( \frac{|DE|}{|AC|} = \frac{1}{3} \) oranı da aynıdır, ancak \( |AC| \) de bilinmiyor. Doğru orantıyı \( |BC| \) üzerinden kurabilmek için şunu yazarız:
\( \frac{|DB|}{|AB|} = \frac{|BE|}{|BC|} \)
\( \frac{2}{6} = \frac{|BE|}{|BC|} \)
Bu bize \( |BE| = \frac{1}{3}|BC| \) verir. \( |BC| = |BE| + |EC| \) olduğunu ve bu yöntemle direkt sonuca ulaşamadığımızı görürüz. Daha doğrusu, soruda bir eksiklik varmış gibi duruyor. Ancak klasik çözümde, \( |DE| \) ve \( |BC| \) arasında paralellikten dolayı doğrudan bir oran kurulamaz. Doğru yol, \( \triangle ABC \sim \triangle DBE \) benzerliğinden \( \frac{|DB|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|AC|} \) yazmaktı. Bu soru tipik bir örnek olması için verilmiştir. Eksik bilgi olduğu için çözümü tamamlayamayız. Ancak benzerlik oranının \( \frac{1}{3} \) olduğunu söyleyebiliriz.
✅ Bu soru, bize paralel çizgilerle oluşan benzerlikte karşılıklı kenarları doğru eşleştirmenin önemini gösterir. Verilerle \( |BC| \) tek başına bulunamaz.
