Soru:
\( a < b < c \) sıralaması verilsin. \( b \) sayısının \( a \) ile \( c \) arasında olduğunu ve \( \frac{a + c}{2} \) sayısının da \( a \) ile \( c \) arasında olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
💡 Verilen sıralamayı ve aritmetik ortalamanın özelliklerini kullanacağız.
- ➡️ Verilen \( a < b < c \) sıralaması, tanım gereği \( b \)'nin \( a \) ile \( c \) arasında olduğunu gösterir. Bu, arada olmanın doğrudan ifadesidir.
- ➡️ Şimdi \( \frac{a + c}{2} \) (a ve c'nin aritmetik ortalaması) için inceleyelim.
- ➡️ \( a < c \) olduğundan, her tarafa \( a \) ekleyip 2'ye bölelim: \( a + a < a + c \) → \( 2a < a + c \) → \( a < \frac{a + c}{2} \).
- ➡️ Benzer şekilde, her tarafa \( c \) ekleyip 2'ye bölelim: \( a + c < c + c \) → \( a + c < 2c \) → \( \frac{a + c}{2} < c \).
- ➡️ İki eşitsizliği birleştirirsek: \( a < \frac{a + c}{2} < c \).
✅ Sonuç olarak, hem \( b \) hem de \( \frac{a + c}{2} \) sayıları \( a \) ile \( c \) arasında yer alır.
