Soru:
\( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) fonksiyonu veriliyor. Arada olma özelliğini kullanarak bu fonksiyonun \( [1, 2] \) aralığında bir kökü olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
💡 Arada olma teoremi (Ara Değer Teoremi), sürekli bir fonksiyonun bir aralıkta aldığı iki değer arasındaki her değeri en az bir noktada alacağını söyler. Kök bulmak için fonksiyonun işaret değiştirdiği aralığı ararız.
- ➡️ Birinci adım: Fonksiyon polinom olduğu için \( [1, 2] \) aralığında süreklidir.
- ➡️ İkinci adım: Uç noktalardaki değerleri hesaplayalım:
\( f(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \)
\( f(2) = (2)^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 \)
- ➡️ Üçüncü adım: \( f(1) = -1 < 0 \) ve \( f(2) = 3 > 0 \). Fonksiyon negatiften pozitife geçmektedir.
- ➡️ Dördüncü adım: Ara Değer Teoremine göre, \( 0 \) değeri \( -1 \) ile \( 3 \) arasında olduğu için, \( (1, 2) \) aralığında \( f(c) = 0 \) olacak şekilde en az bir \( c \) sayısı vardır.
✅ Sonuç: Fonksiyonun \( [1, 2] \) aralığında en az bir kökü vardır.
