Soru:
Bir uydu mühendisi, Dünya etrafında dönen bir uydunun yörünge periyodunu hesaplamak istiyor. Kepler'in Üçüncü Yasası'na göre, dairesel bir yörünge için periyot (\(T\)), yörünge yarıçapının (\(r\)) 3/2. kuvveti ile orantılıdır. Formül şu şekildedir:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]
Burada:
- \(G = 6.674 \times 10^{-11} \ \text{N·m}^2/\text{kg}^2\) (Evrensel Kütle Çekim Sabiti)
- \(M = 5.972 \times 10^{24} \ \text{kg}\) (Dünya'nın kütlesi)
- \(r = 4.216 \times 10^7 \ \text{m}\) (Dünya'nın merkezinden uyduya olan mesafe)
\(\pi \approx 3.1416\) alarak uydunun yörünge periyodunu (saniye cinsinden) bulunuz.
Çözüm:
💡 Periyodu bulmak için formüldeki işlemleri köklü ve üslü ifadelerin kurallarına uygun şekilde adım adım uygulayacağız.
- ➡️ 1. Adım: Kök içindeki ifadeyi (\( \frac{r^3}{GM} \)) hesaplayalım.
Önce \(r^3\)'ü hesaplayalım:
\(r^3 = (4.216 \times 10^7)^3 = (4.216)^3 \times (10^7)^3\)
\( (4.216)^3 \approx 74.93\)
\( (10^7)^3 = 10^{21}\)
\(r^3 \approx 74.93 \times 10^{21} = 7.493 \times 10^{22} \ \text{m}^3\)
Şimdi \(GM\)'yi hesaplayalım:
\(GM = (6.674 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24})\)
\(GM \approx 39.86 \times 10^{13} = 3.986 \times 10^{14} \ \text{m}^3/\text{s}^2\)
Şimdi bölme işlemini yapalım:
\( \frac{r^3}{GM} = \frac{7.493 \times 10^{22}}{3.986 \times 10^{14}} \approx 1.879 \times 10^{8} \ \text{s}^2\)
- ➡️ 2. Adım: Karekök işlemini uygulayalım.
\( \sqrt{1.879 \times 10^{8}} = \sqrt{1.879} \times \sqrt{10^{8}} \)
\( \sqrt{1.879} \approx 1.371 \)
\( \sqrt{10^{8}} = 10^{4} = 10000 \)
\( \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \approx 1.371 \times 10^{4} = 13710 \ \text{s}\)
- ➡️ 3. Adım: Periyodu (\(T\)) hesaplayalım.
\(T = 2\pi \times 13710 \approx 2 \times 3.1416 \times 13710\)
\(T \approx 6.2832 \times 13710 \approx 86140 \ \text{saniye}\)
✅ Sonuç olarak, uydunun yörünge periyodu yaklaşık 86,140 saniye'dir. Bu da yaklaşık 23.9 saat eder. Köklü ve üslü ifadeler, yörünge mekaniği gibi karmaşık hesaplamaların temelini oluşturur.
