Soru:
Dar açılı bir ABC üçgeninin diklik merkezi H'dir. [AH] doğrusu [BC] kenarını D noktasında, [BH] doğrusu [AC] kenarını E noktasında kesmektedir. |AE| = 4 cm, |EC| = 5 cm ve |CD| = 6 cm ise, |BD| uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Bu soruda, diklik merkezinden kaynaklanan benzerlik ilişkilerini kullanacağız.
- ➡️ Verilenlere göre: |AC| = |AE| + |EC| = 4 + 5 = 9 cm.
- ➡️ [BE] yüksekliktir, yani [BE]⊥[AC]. Benzer şekilde [AD] yüksekliktir, yani [AD]⊥[BC].
- ➡️ ABD ve CBE üçgenlerini düşünelim. Her ikisi de dik üçgendir ve ∠ABD (yani ∠ABC) açısı her iki üçgende de ortaktır. Bu durumda \( \triangle ABD \sim \triangle CBE \) (Açı-Açı Benzerliği).
- ➡️ Benzerlik oranını yazabilmek için kenarları doğru eşleştirmeliyiz. \( \frac{BD}{BE} = \frac{AB}{CB} \) gibi bir oran bize doğrudan sonucu vermez.
- ➡️ Daha iyi bir benzerlik çifti: \( \triangle AHE \) ve \( \triangle BHD \) üçgenlerini inceleyelim.
- m(∠AHE) = m(∠BHD) (ters açılar).
- m(∠AEH) = 90° ([BE] yükseklik).
- m(∠BDH) = 90° ([AD] yükseklik).
Bu durumda \( \triangle AHE \sim \triangle BHD \) (Açı-Açı Benzerliği) olur.
- ➡️ Bu benzerlikten: \( \frac{AE}{BD} = \frac{HE}{HD} \). Ancak burada HE ve HD bilinmiyor.
- ➡️ Başka bir benzerlik: \( \triangle ABD \sim \triangle CBF \) yerine, \( \triangle ABE \sim \triangle CBD \) benzerliğini kullanalım.
- m(∠AEB) = m(∠CDB) = 90°.
- m(∠BAE) = m(∠BCD) (Çünkü her ikisi de 90°'den ∠ABC'yi çıkarırsak kalan açılara eşit olur? Hayır, daha farklı: ∠BAE ve ∠BCE, BC doğrusuna göre aynı yayı gören çevre açılar değiller). Bu yol da karmaşık.
- ➡️ En kesin yol: \( \triangle ADC \) ve \( \triangle BEC \) dik üçgenlerinde Pisagor veya trigonometri kullanmak yerine, Yükseklik Bağıntısını kullanalım. Aynı yüksekliğe sahip üçgenlerin alanları oranı, tabanları oranına eşittir.
- \( \frac{Alan(ABH)}{Alan(CBH)} = \frac{BD}{DC} \) yazılabilir mi? Hayır, çünkü bu üçgenler [BH]'ye göre aynı yüksekliğe sahip değiller.
- ➡️ Doğru benzerlik: \( \triangle AEH \sim \triangle CDH \) (Her ikisi de dik üçgen ve m(∠AHE) = m(∠CHD) - ters açı). Bu benzerlikten: \( \frac{AE}{CD} = \frac{EH}{DH} \). => \( \frac{4}{6} = \frac{EH}{DH} \) => \( \frac{EH}{DH} = \frac{2}{3} \).
- ➡️ Aynı şekilde, \( \triangle AHE \sim \triangle BHD \) benzerliğinden: \( \frac{AE}{BD} = \frac{EH}{DH} \). => \( \frac{4}{BD} = \frac{2}{3} \).
- ➡️ İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 2 \times BD = 4 \times 3 \) => \( 2BD = 12 \) => \( BD = 6 \) cm.
✅ Sonuç: |BD| uzunluğu 6 cm'dir.
