Soru:
35 kişilik bir sınıfta öğrencilerin hepsi Futbol (F) veya Basketbol (B) oynamaktadır. Futbol oynayanların sayısı, Basketbol oynayanların sayısının 2 katıdır. Her iki sporu da yapan 5 kişi olduğuna göre, sadece Futbol oynayan kaç kişi vardır?
Çözüm:
💡 Soruyu çözmek için küme şeması çizelim veya denklem kuralım.
- ➡️ Sadece Futbol oynayanlara \( a \), her ikisini de oynayanlara \( k \), sadece Basketbol oynayanlara \( b \) diyelim. \( k = 5 \) verilmiş.
- ➡️ Futbol oynayanların toplamı: \( a + k \)
- ➡️ Basketbol oynayanların toplamı: \( b + k \)
- ➡️ Futbol oynayanlar, Basketbol oynayanların 2 katı: \( a + k = 2(b + k) \)
- ➡️ Sınıf mevcudu: \( a + b + k = 35 \)
- ➡️ Denklemleri yazalım:
1. \( a + 5 = 2(b + 5) \) → \( a + 5 = 2b + 10 \) → \( a - 2b = 5 \)
2. \( a + b + 5 = 35 \) → \( a + b = 30 \)
- ➡️ İki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim. İkinci denklemi (a+b=30) birinci denklemden (a-2b=5) çıkaralım:
(a - 2b) - (a + b) = 5 - 30
a - 2b - a - b = -25
-3b = -25 → \( b = \frac{25}{3} \) ❌ Bu bir tam sayı çıkmadı, bir yanlışlık var. Hemen kontrol edelim.
- ➡️ Düzeltme: İkinci denklemde \( a + b + k = 35 \) ve \( k=5 \) ise \( a + b = 30 \) doğru. Birinci denklem: \( a + 5 = 2(b + 5) \) → \( a + 5 = 2b + 10 \) → \( a - 2b = 5 \). Şimdi iki denklemi taraf tarafa çıkaralım:
(a - 2b) - (a + b) = 5 - 30
-3b = -25 → \( b = 25/3 \) yine tam sayı çıkmıyor. Demek ki verilerde bir tutarsızlık yok, biz sadece sadece Futbol oynayanı (a) soruyoruz. İki denklemi toplayarak veya yerine koyma yöntemi ile a'yı bulalım.
- ➡️ Yerine koyma yöntemi: \( a + b = 30 \) → \( a = 30 - b \). Bunu \( a - 2b = 5 \) denkleminde yerine yazalım:
(30 - b) - 2b = 5
30 - 3b = 5
-3b = 5 - 30
-3b = -25
\( b = \frac{25}{3} \)
Bu durumda \( a = 30 - \frac{25}{3} = \frac{90}{3} - \frac{25}{3} = \frac{65}{3} \).
💡 Bu sonuç bir tam sayı olmadığı için sorunun orijinalinde sayılar farklı olabilirdi. Ancak işlem mantığı bu şekildedir. Cevap \( \frac{65}{3} \) çıkar, fakat öğrenci sayısı kesirli olamayacağı için soruya bir not düşmek gerekir.
✅ Not: Verilen sayılarla işlem yapıldığında sonuç tam sayı çıkmamaktadır (\( a = \frac{65}{3} \)). Bu, soru yazımında bir hata olabileceğini gösterir. Ancak çözüm yöntemi bu şekildedir.
