Soru:
35 kişilik bir sınıfta öğrencilerin hepsi futbol veya basketbol oynamaktadır. Futbol oynayanların sayısı, basketbol oynayanların sayısının 2 katıdır. Her iki sporu da oynayan 5 kişi olduğuna göre, sadece basketbol oynayan kaç kişi vardır?
Çözüm:
💡 Futbol oynayanlar kümesi \( F \), basketbol oynayanlar kümesi \( B \) olsun. Toplam öğrenci sayısı birleşim kümesinin eleman sayısına eşittir.
- ➡️ Verilenler: \( s(F \cup B) = 35 \), \( s(F \cap B) = 5 \), \( s(F) = 2 \cdot s(B) \)
- ➡️ Formül: \( s(F \cup B) = s(F) + s(B) - s(F \cap B) \)
- ➡️ \( s(F) \) yerine \( 2s(B) \) yazalım: \( 35 = 2s(B) + s(B) - 5 \)
- ➡️ \( 35 = 3s(B) - 5 \) → \( 3s(B) = 40 \) → \( s(B) = \frac{40}{3} \) ❌ Bu bir tam sayı çıkmadı, bir yanlışlık var. Problemi tekrar kontrol edelim. Kümeleri ayrıştırarak çözelim.
- ➡️ Sadece Futbol: \( a \), Sadece Basketbol: \( b \), Her İkisi: \( 5 \) olsun.
\( s(F) = a + 5 \), \( s(B) = b + 5 \)
- ➡️ Futbol oynayan, basketbol oynayanın 2 katı: \( a + 5 = 2(b + 5) \) → \( a + 5 = 2b + 10 \) → \( a = 2b + 5 \)
- ➡️ Toplam öğrenci: \( a + b + 5 = 35 \) → \( (2b + 5) + b + 5 = 35 \) → \( 3b + 10 = 35 \) → \( 3b = 25 \) → \( b = \frac{25}{3} \) ❌ Yine tam sayı çıkmıyor. Problemde verilen sayılar tutarlı değildir, ancak yöntem bu şekildedir. Bu durumda sadece basketbol oynayanlar \( b \) olur.
✅ Not: Bu örnekte verilen sayılar sonucu tam sayı yapmadığı için problem hatalıdır. Ancak çözüm mantığı doğrudur: Kümeleri parçalara ayır, denklemleri kur ve çöz.
