Soru:
\( A \) ve \( B \) kümeleri için aşağıdakiler biliniyor:
- \( s(A) = 12 \)
- \( s(B) = 18 \)
- \( s(A \cap B) = 2 \cdot s(A \cup B)' \)
Evrensel kümenin eleman sayısı 50 olduğuna göre, \( s(A \cup B) \) kaçtır?
Çözüm:
💡 Bu problemde birleşim kümesinin tümleyeninin eleman sayısı verilmiş. Öncelikle sembolleri tanımlayalım.
- ➡️ \( s(E) = 50 \) (Evrensel Küme)
\( s(A \cup B)' = s(E) - s(A \cup B) = 50 - s(A \cup B) \)
- ➡️ Verilen: \( s(A \cap B) = 2 \cdot s(A \cup B)' \) → \( s(A \cap B) = 2 \cdot (50 - s(A \cup B)) \)
- ➡️ Temel formül: \( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)
- ➡️ Bilinenleri yerine koyalım: \( s(A \cup B) = 12 + 18 - [2 \cdot (50 - s(A \cup B))] \)
- ➡️ \( s(A \cup B) = 30 - 100 + 2 \cdot s(A \cup B) \)
- ➡️ \( s(A \cup B) = -70 + 2 \cdot s(A \cup B) \)
- ➡️ \( s(A \cup B) - 2 \cdot s(A \cup B) = -70 \) → \( -s(A \cup B) = -70 \)
- ➡️ \( s(A \cup B) = 70 \) ❌ Bu sonuç olamaz çünkü evrensel küme 50 elemanlı! Bir hata yapmış olabiliriz. Denklemi tekrar düzenleyelim.
- ➡️ \( s(A \cup B) = 30 - 2(50 - s(A \cup B)) \)
\( s(A \cup B) = 30 - 100 + 2s(A \cup B) \)
\( s(A \cup B) = -70 + 2s(A \cup B) \)
\( s(A \cup B) - 2s(A \cup B) = -70 \)
\( -s(A \cup B) = -70 \)
\( s(A \cup B) = 70 \)
✅ Sonuç ve Analiz: Matematiksel işlemler sonucu \( s(A \cup B) = 70 \) bulunur. Ancak bu, evrensel kümenin eleman sayısı olan 50'den büyüktür, bu imkansızdır. Bu durum, problemde verilen sayıların veya ilişkinin (\( s(A \cap B) = 2 \cdot s(A \cup B)' \)) gerçek hayatta bir karşılığının olmadığını gösterir. Yine de çözüm yöntemi bu şekildedir.
