Soru:
Aşağıda parçalı olarak tanımlanmış \( f(x) \) fonksiyonu verilmiştir. Bu fonksiyonu bir mutlak değer fonksiyonu olarak, yani \( f(x) = a|x - h| + k \) biçiminde yazınız.
\( f(x) = \begin{cases}
-x + 2, & x < 2 \\
x - 2, & x \geq 2
\end{cases} \)
Çözüm:
💡 Bir parçalı fonksiyon, mutlak değer fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Bunun için kritik noktayı (parçaların değiştiği nokta) ve fonksiyonun dallarının eğimlerini incelemeliyiz.
- ➡️ 1. Adım: Kritik Nokta ve Tepe Noktasını Belirleme
Parçalar \( x = 2 \) noktasında değişiyor. Bu, mutlak değer fonksiyonunun tepe noktasının \( x = 2 \) olduğunu gösterir. Tepe noktası \( (h, k) \) olmak üzere, \( h = 2 \).
- ➡️ 2. Adım: k Değerini Bulma
Tepe noktasında \( f(h) = k \). \( x = 2 \) için ikinci parçayı kullanırız: \( f(2) = 2 - 2 = 0 \). Dolayısıyla \( k = 0 \).
- ➡️ 3. Adım: a Katsayısını Belirleme
Fonksiyonun sağ tarafındaki parça (\( x \geq 2 \)) için eğim \( +1 \)'dir. Mutlak değer fonksiyonunda, \( x \geq h \) için eğim \( +a \) olur. Buradan \( a = 1 \) bulunur.
- ➡️ 4. Adım: Fonksiyonu Yazma
Bulduğumuz değerleri \( a|x - h| + k \) formülünde yerine koyalım: \( f(x) = 1 \cdot |x - 2| + 0 \).
✅ Sonuç: \( f(x) = |x - 2| \).
