Soru:
Aşağıda mutlak değer fonksiyonu olarak verilen \( g(x) = 2|x + 1| - 3 \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon biçiminde yazınız.
Çözüm:
💡 Bir mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyona dönüştürmek için, mutlak değerin içinin işaretine göre durum incelemesi yapılır.
- ➡️ 1. Adım: Kritik Noktayı Belirleme
Mutlak değerin içi sıfır olduğunda parçalar değişir: \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \). Kritik nokta \( x = -1 \).
- ➡️ 2. Adım: \( x < -1 \) Durumu
Bu aralıkta \( x + 1 < 0 \) olduğu için \( |x + 1| = -(x + 1) \). Fonksiyon: \( g(x) = 2(-(x + 1)) - 3 = -2x - 2 - 3 = -2x - 5 \).
- ➡️ 3. Adım: \( x \geq -1 \) Durumu
Bu aralıkta \( x + 1 \geq 0 \) olduğu için \( |x + 1| = x + 1 \). Fonksiyon: \( g(x) = 2(x + 1) - 3 = 2x + 2 - 3 = 2x - 1 \).
- ➡️ 4. Adım: Parçalı Fonksiyonu Birleştirme
İki durumu birleştirerek parçalı fonksiyonu yazabiliriz.
✅ Sonuç: \( g(x) = \begin{cases} -2x - 5, & x < -1 \\ 2x - 1, & x \geq -1 \end{cases} \).
