Soru:
\( f(x) = -|x - 4| + 1 \) mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizmek için parçalı fonksiyon tanımını kullanın ve grafiğin tepe noktasını, x eksenini kestiği noktaları belirleyin.
Çözüm:
💡 Grafiği çizebilmek için önce fonksiyonu parçalı hale getirip sonra önemli noktaları bulacağız.
- ➡️ 1. Adım: Parçalı Fonksiyona Dönüştürme
Kritik nokta: \( x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \).
• \( x < 4 \) için: \( |x-4| = -(x-4) = -x+4 \). \( f(x) = -(-x+4) + 1 = x - 4 + 1 = x - 3 \).
• \( x \geq 4 \) için: \( |x-4| = x-4 \). \( f(x) = -(x-4) + 1 = -x + 4 + 1 = -x + 5 \).
Yani, \( f(x) = \begin{cases} x - 3, & x < 4 \\ -x + 5, & x \geq 4 \end{cases} \).
- ➡️ 2. Adım: Tepe Noktasını Bulma
Mutlak değer fonksiyonunun tepe noktası kritik noktadadır. \( x = 4 \) için \( f(4) = -|4-4|+1 = 1 \). Tepe noktası: \( (4, 1) \).
- ➡️ 3. Adım: x Kesen Noktalarını Bulma
x eksenini kestiği noktalar için \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz.
• Birinci parça (\( x<4 \)): \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \). Bu değer tanım aralığında (\( x<4 \)) olduğu için geçerlidir.
• İkinci parça (\( x\geq4 \)): \( -x + 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \). Bu değer de tanım aralığında (\( x\geq4 \)) olduğu için geçerlidir.
✅ Sonuç: Fonksiyonun tepe noktası \( (4, 1) \)'dir ve x eksenini \( x = 3 \) ve \( x = 5 \) noktalarında keser. Grafik, tepe noktasında birleşen iki doğru parçasından oluşan bir "V" şeklinin tersidir (a=-1<0 olduğu için).
