Soru:
Bir telefon şirketinin aylık ücret tarifesi şu şekildedir: Aylık 5 GB'a kadar kullanım için sabit 50 TL, 5 GB'ı aşan her bir GB için ekstra 10 TL ücret alınmaktadır. Bu durumu modelleyen maliyet fonksiyonunu hem bir parçalı fonksiyon hem de bir mutlak değer fonksiyonu olarak yazınız. (x: Kullanılan internet miktarı (GB), f(x): Toplam maliyet (TL))
Çözüm:
💡 Gerçek hayat problemlerinde parçalı ve mutlak değer fonksiyonları ilişkisi sıklıkla karşımıza çıkar.
- ➡️ 1. Adım: Parçalı Fonksiyonu Yazma
Kritik nokta 5 GB'dır.
• \( 0 \leq x \leq 5 \) için: \( f(x) = 50 \) TL.
• \( x > 5 \) için: \( f(x) = 50 + 10(x - 5) = 10x \) TL.
Yani, \( f(x) = \begin{cases} 50, & 0 \leq x \leq 5 \\ 10x, & x > 5 \end{cases} \).
- ➡️ 2. Adım: Mutlak Değer Fonksiyonuna Dönüştürme
Bu fonksiyon, "temel ücrete, aşılan miktarın 10 TL/GB ile çarpımının eklenmesi" olarak düşünülebilir. Aşılan miktar ise \( |x - 5| + (x - 5) \) ifadesinin yarısına eşdeğerdir. Daha basit bir yaklaşım, fonksiyonu "sabit + eğim * (aşım miktarı)" şeklinde yazmaktır. Aşım miktarı \( \frac{|x-5| + (x-5)}{2} \) formülü ile hesaplanır. Ancak bu karmaşık olabilir. Daha pratik bir yol, tepe noktasını ve eğimi gözlemlemektir.
• Tepe noktası \( x = 5 \)'tir ve \( f(5) = 50 \). Yani \( h=5, k=50 \).
• \( x > 5 \) için eğim \( +10 \) olduğundan, mutlak değerin katsayısı \( a = 10 \) olur.
Ancak dikkat! \( x < 5 \) için eğim 0 iken, mutlak değer fonksiyonunda eğim -10 olurdu. Bu uyuşmazlığı gidermek için, fonksiyonu "ortalama değer + mutlak değer" şeklinde düşünebiliriz. İki parçanın x>5 için denklemi \( 10x \), x<5 için denklemi \( 50 \)'dir. Bu iki doğrunun ortalaması alınır ve mutlak değer ile ayarlama yapılır. İki doğrunun ortalaması: \( \frac{10x + 50}{2} = 5x + 25 \). Bu orta noktadan, mutlak değerli ifadenin yarısı kadar sapma olur. Sapma miktarı: \( \frac{10x - 50}{2} = 5x - 25 \). Bu aslında \( 5|x-5| \) ifadesine eşittir (Kontrol: x>5 için 5(x-5)=5x-25, x<5 için 5(-(x-5)) = -5x+25). Bu durumda fonksiyon: \( f(x) = (5x+25) - 5|x-5| \)? Bu doğru değil. Daha güvenilir bir yöntem, fonksiyonu \( f(x) = 50 + 5(|x-5| + (x-5)) \) olarak yazmaktır. Bu ifade x≥5 için 50+5((x-5)+(x-5))=50+10(x-5)=10x, x<5 için 50+5(-(x-5)+(x-5))=50+5(0)=50 verir. Sadeleştirirsek: \( f(x) = 50 + 5(x-5) + 5|x-5| = 5x + 25 + 5|x-5| \). Bu da istenen koşulları sağlar.
✅ Sonuç:
Parçalı Fonksiyon: \( f(x) = \begin{cases} 50, & 0 \leq x \leq 5 \\ 10x, & x > 5 \end{cases} \)
Mutlak Değer Fonksiyonu: \( f(x) = 5x + 25 + 5|x - 5| \).
