Soru:
Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \)'nun arada olma özelliğini sağlayıp sağlamadığını inceleyiniz. \( a = 1 \) ve \( b = 2 \) arasında, \( a^2 < 2 < b^2 \) koşulunu sağlayan bir rasyonel sayı olup olmadığını araştırınız.
Çözüm:
💡 Rasyonel sayılar kümesinin arada olma özelliğini sağlamadığını göstermek için, verilen aralıkta bir rasyonel sayı olmadığını ispatlayacağız.
- ➡️ İlk olarak, \( a = 1 \) ve \( b = 2 \) sayılarını alalım. Bu sayılar rasyoneldir ve \( a < b \)'dir.
- ➡️ \( a^2 = 1 \) ve \( b^2 = 4 \) olduğundan, \( a^2 < 2 < b^2 \) eşitsizliği doğrudur.
- ➡️ Şimdi, \( 1 < x < 2 \) ve \( x^2 = 2 \) olacak şekilde bir \( x \) rasyonel sayısı arayalım. Ancak, \( \sqrt{2} \)'nin irrasyonel olduğu bilinmektedir.
- ➡️ Dolayısıyla, \( a \) ve \( b \) arasında \( a^2 < y < b^2 \) koşulunu sağlayan herhangi bir \( y \) rasyonel sayısı olsa bile, bu \( y \)'nin karekökü (\( \sqrt{y} \)) rasyonel olmak zorunda değildir. Aslında, \( 1 < r < 2 \) ve \( r^2 = 2 \) olacak şekilde bir \( r \in \mathbb{Q} \) yoktur.
- ➡️ Bu, rasyonel sayılar kümesinin arada olma özelliğini sağlamadığını gösterir. Çünkü \( a \) ve \( b \) rasyonel iken, aralarında \( a^2 < 2 < b^2 \) koşulunu sağlayacak bir rasyonel sayı bulunamaz (bu koşul, sayının karesinin 2'ye eşit olmasını gerektirmez; sadece iki rasyonel sayının karesi arasında olmasını gerektirir, ancak bu durumda da her zaman bir rasyonel bulunamayabilir). Daha kesin bir örnek için, \( a=1, b=2 \) ve \( 1 < x < 2 \) aralığında \( x^2 \)'nin 2'ye eşit olması gerekmez, ama \( x^2 \)'nin 1 ile 4 arasında olması yeterlidir. Ancak, 2'ye çok yakın değerler için bile, \( x \) rasyonel ise \( x^2 \) rasyoneldir, fakat 2'ye eşit olamaz. Önemli olan, \( a \) ve \( b \) arasında kalan herhangi bir rasyonel sayının karesinin 2 olamayacağıdır. Bu, arada olma özelliğinin bir koşulunun (bu özel seçim için) sağlanamadığını gösterir.
✅ Sonuç: Rasyonel sayılar kümesi (\( \mathbb{Q} \)) arada olma özelliğini sağlamaz.
