Soru:
\( x \) ve \( y \) gerçek sayıları için \( x < y \) olsun. Bu iki sayının aritmetik ortalamasının (\( \frac{x+y}{2} \)) her zaman \( x \) ile \( y \) arasında bir sayı olduğunu hem cebirsel olarak hem de \( x=\sqrt{5} \), \( y=\sqrt{20} \) değerleri için gösteriniz.
Çözüm:
💡 Aritmetik ortalama, iki sayının tam ortasındaki değeri verir ve arada olma özelliğini kanıtlamak için harika bir araçtır.
- ➡️ Cebirsel İspat: \( x < y \) olduğunu biliyoruz. Her tarafa \( x \) ekleyelim: \( x + x < x + y \) → \( 2x < x + y \). Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x < \frac{x+y}{2} \).
Benzer şekilde, her tarafa \( y \) ekleyelim: \( x + y < y + y \) → \( x + y < 2y \). Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( \frac{x+y}{2} < y \).
İki eşitsizliği birleştirirsek: \( x < \frac{x+y}{2} < y \).
- ➡️ Sayısal Örnek: \( x = \sqrt{5} \approx 2.236 \) ve \( y = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.472 \) alalım.
Aritmetik ortalaması: \( \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 \times 2.236}{2} = 3.354 \).
Kontrol: \( 2.236 < 3.354 < 4.472 \).
✅ Hem cebirsel olarak hem de sayısal örnekle, aritmetik ortalamanın her zaman iki sayı arasında kaldığı ispatlanmış oldu.
