Soru:
Gerçek sayılar kümesi \( \mathbb{R} \)'nin arada olma özelliğini sağladığını gösteriniz. \( a = 3 \) ve \( b = 5 \) olmak üzere, \( a < c < b \) koşulunu sağlayan bir \( c \in \mathbb{R} \) sayısının var olduğunu ve bunun her zaman bulunabildiğini genelleyerek açıklayınız.
Çözüm:
💡 Gerçek sayılar kümesi, arada olma özelliğini sağlar. Yani, herhangi iki farklı gerçek sayı arasında en az bir gerçek sayı vardır.
- ➡️ \( a = 3 \) ve \( b = 5 \) alalım. Açıkça \( a < b \)'dir.
- ➡️ \( a \) ve \( b \) arasında bir sayı bulmak için, örneğin ortalamasını alabiliriz: \( c = \frac{a + b}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \).
- ➡️ \( c = 4 \) bir gerçek sayıdır ve \( 3 < 4 < 5 \) eşitsizliğini sağlar.
- ➡️ Genel olarak, herhangi \( a, b \in \mathbb{R} \) için \( a < b \) ise, \( c = \frac{a + b}{2} \) her zaman bir gerçek sayıdır ve \( a < c < b \) koşulunu sağlar.
- ➡️ Hatta, \( a \) ve \( b \) arasında sonsuz sayıda gerçek sayı bulunabilir (örneğin, \( \frac{a+b}{2} \), \( \frac{3a+b}{4} \), \( \frac{a+3b}{4} \), ...).
✅ Sonuç: Gerçek sayılar kümesi (\( \mathbb{R} \)) arada olma özelliğini sağlar.
