Soru:
Tam sayılar kümesi \( \mathbb{Z} \)'nin arada olma özelliğini sağlayıp sağlamadığını inceleyiniz. \( a = 2 \) ve \( b = 5 \) için, \( a < c < b \) koşulunu sağlayan bir \( c \in \mathbb{Z} \) var mıdır? Genel bir kural çıkarınız.
Çözüm:
💡 Tam sayılar kümesi, ardışık tam sayılar arasında başka bir tam sayı olmadığı için arada olma özelliğini sağlamaz.
- ➡️ \( a = 2 \) ve \( b = 5 \) alalım. \( a < b \)'dir.
- ➡️ \( a \) ve \( b \) arasındaki tam sayılar: 3 ve 4'tür. Yani, \( 2 < 3 < 5 \) ve \( 2 < 4 < 5 \) sağlanır. Bu özel durumda arada tam sayı vardır.
- ➡️ Ancak, genel kural için \( a = 2 \) ve \( b = 3 \) alalım. \( a < b \)'dir.
- ➡️ \( 2 < c < 3 \) koşulunu sağlayan bir \( c \) tam sayısı yoktur. Çünkü 2 ve 3 ardışık tam sayılardır.
- ➡️ Dolayısıyla, her zaman için \( a \) ve \( b \) arasında bir tam sayı bulunamaz. Arada olma özelliği, her \( a, b \in \mathbb{Z} \) için \( a < b \) ise, daima bir \( c \in \mathbb{Z} \) olacak şekilde \( a < c < b \) sağlanmasını gerektirir. Bu, ardışık tam sayılar için mümkün değildir.
✅ Sonuç: Tam sayılar kümesi (\( \mathbb{Z} \)) arada olma özelliğini sağlamaz.
