Soru:
Doğal sayılar kümesi \( \mathbb{N} \)'in arada olma özelliğini sağlayıp sağlamadığını inceleyiniz. \( a = 5 \) ve \( b = 7 \) için, \( a < c < b \) koşulunu sağlayan bir \( c \in \mathbb{N} \) var mıdır? \( a = 5 \) ve \( b = 6 \) için durum nedir?
Çözüm:
💡 Doğal sayılar kümesi de tam sayılar gibi ardışık elemanlara sahiptir ve arada olma özelliğini sağlamaz.
- ➡️ İlk örnek: \( a = 5 \), \( b = 7 \). \( a < b \)'dir.
- ➡️ \( 5 < c < 7 \) koşulunu sağlayan \( c \) doğal sayısı: \( c = 6 \). Yani bu örnekte arada bir doğal sayı vardır.
- ➡️ İkinci örnek: \( a = 5 \), \( b = 6 \). \( a < b \)'dir.
- ➡️ \( 5 < c < 6 \) koşulunu sağlayan bir \( c \) doğal sayısı yoktur. Çünkü 5 ve 6 ardışık doğal sayılardır.
- ➡️ Arada olma özelliği, her \( a, b \in \mathbb{N} \) için \( a < b \) ise, daima bir \( c \in \mathbb{N} \) olacak şekilde \( a < c < b \) sağlanmasını gerektirir. Ardışık doğal sayılar için bu mümkün olmadığından, doğal sayılar kümesi arada olma özelliğini sağlamaz.
✅ Sonuç: Doğal sayılar kümesi (\( \mathbb{N} \)) arada olma özelliğini sağlamaz.
