Soru:
\( A = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, 0 \le x \le 1 \} \) kümesi (kapalı aralık) arada olma özelliğini sağlar mı? \( a = 0.2 \) ve \( b = 0.5 \) için, \( a < c < b \) koşulunu sağlayan bir \( c \in A \) var mıdır? \( a = 0.9 \) ve \( b = 1 \) için durum nedir?
Çözüm:
💡 Kapalı bir aralık, gerçek sayıların bir alt kümesi olduğu ve kendi içinde arada olma özelliğini miras aldığı için, arada olma özelliğini sağlar.
- ➡️ \( A = [0, 1] \) kapalı aralığı, 0 ve 1 dahil olmak üzere 0 ile 1 arasındaki tüm gerçek sayıları içerir.
- ➡️ İlk örnek: \( a = 0.2 \), \( b = 0.5 \). \( a, b \in A \) ve \( a < b \).
- ➡️ \( a \) ve \( b \) arasında, örneğin \( c = 0.35 \) sayısı alınabilir. \( c \in A \) ve \( a < c < b \) sağlanır.
- ➡️ İkinci örnek: \( a = 0.9 \), \( b = 1 \). \( a, b \in A \) ve \( a < b \).
- ➡️ \( a \) ve \( b \) arasında, örneğin \( c = 0.95 \) sayısı alınabilir. \( c \in A \) ve \( a < c < b \) sağlanır. \( b=1 \) sınır noktası olsa bile, 0.9 ile 1 arasında hala sonsuz sayıda gerçek sayı (ve dolayısıyla \( A \)'nın elemanı) vardır.
- ➡️ Genel olarak, \( A \) bir aralık olduğu için, herhangi iki farklı elemanı arasında daima başka bir elemanı bulunur.
✅ Sonuç: \( [0, 1] \) kapalı aralığı arada olma özelliğini sağlar.
