Soru:
\( B = \{ \frac{1}{n} \,|\, n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\} \) kümesi arada olma özelliğini sağlar mı? \( a = 0 \) ve \( b = 1 \) için, \( a < c < b \) koşulunu sağlayan bir \( c \in B \) var mıdır? \( a = \frac{1}{3} \) ve \( b = \frac{1}{2} \) için durumu inceleyiniz.
Çözüm:
💡 \( B \) kümesi, 0 ve 1/n (n doğal sayı) formundaki sayılardan oluşur. Bu küme "seyrek" yapıda olduğu için arada olma özelliğini sağlamaz.
- ➡️ Kümenin elemanları: \( ..., \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 0 \) (Genelde \( n=1,2,3,... \) için \( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ... \) ve 0). Sıralı hali: \( 0, ..., \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1 \).
- ➡️ İlk örnek: \( a = 0 \), \( b = 1 \). \( a, b \in B \) ve \( a < b \).
- ➡️ \( 0 < c < 1 \) koşulunu sağlayan \( c \in B \) arıyoruz. \( c \), \( \frac{1}{n} \) formunda olmalıdır. \( \frac{1}{n} < 1 \) ise \( n > 1 \) olur. Yani \( c \) olarak \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ... \) alınabilir. Örneğin \( c = \frac{1}{2} \) seçilirse \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \) sağlanır. Bu özel durumda arada bir eleman vardır.
- ➡️ İkinci örnek (Kritik örnek): \( a = \frac{1}{3} \), \( b = \frac{1}{2} \). \( a, b \in B \) ve \( a < b \).
- ➡️ \( \frac{1}{3} < c < \frac{1}{2} \) koşulunu sağlayan bir \( c \in B \) var mı? \( c = \frac{1}{n} \) formunda olmalı. \( \frac{1}{3} < \frac{1}{n} < \frac{1}{2} \) eşitsizliğini çözelim. Bu eşitsizlik \( 2 < n < 3 \) anlamına gelir. Fakat 2 ile 3 arasında hiçbir doğal sayı \( n \) yoktur.
- ➡️ Dolayısıyla, \( a = \frac{1}{3} \) ve \( b = \frac{1}{2} \) arasında \( B \) kümesinden bir eleman yoktur.
- ➡️ Bu, \( B \) kümesinin arada olma özelliğini sağlamadığını gösterir.
✅ Sonuç: \( B = \{ \frac{1}{n} \,|\, n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\} \) kümesi arada olma özelliğini sağlamaz.
