Soru:
Köşe koordinatları \( A(1, 2) \), \( B(4, 6) \) ve \( C(7, 2) \) olan bir \( ABC \) üçgeni veriliyor. \( [BC] \) kenarına ait kenarortayın uzunluğu 4 birimdir. \( [BC] \) kenarına uzaklığı 4 birim olan noktaların geometrik yer denklemlerini bulunuz.
Çözüm:
🌟 Öncelikle BC doğrusunun denklemini bulmalıyız. Daha sonra bu doğruya uzaklığı 4 birim olan noktaları bulacağız.
- ➡️ BC Doğrusunun Denklemi: \( B(4, 6) \) ve \( C(7, 2) \) noktalarından geçer.
Eğim: \( m = \frac{2 - 6}{7 - 4} = \frac{-4}{3} \).
Doğru denklemi: \( y - 6 = -\frac{4}{3}(x - 4) \).
Standart forma getirelim: \( 3(y - 6) = -4(x - 4) \) → \( 3y - 18 = -4x + 16 \) → \( 4x + 3y - 34 = 0 \).
- ➡️ Uzaklık Formülü: \( \frac{|4x + 3y - 34|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 4 \). Payda \( \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \).
- ➡️ Denklem: \( \frac{|4x + 3y - 34|}{5} = 4 \) → \( |4x + 3y - 34| = 20 \).
- ➡️ Mutlak değeri açarsak:
Durum 1: \( 4x + 3y - 34 = 20 \) → \( 4x + 3y - 54 = 0 \)
Durum 2: \( 4x + 3y - 34 = -20 \) → \( 4x + 3y - 14 = 0 \)
✅ Geometrik yer, \( BC \) kenarına paralel olan bu iki doğrudur: \( 4x + 3y - 54 = 0 \) ve \( 4x + 3y - 14 = 0 \).
