Soru:
\( A(2, -1) \) noktasından ve \( d: y = -\frac{1}{2}x + 4 \) doğrusuna uzaklığı 2 birim olan noktalardan geçen doğrunun denklemini bulunuz. (Bu noktalar aynı doğru üzerindedir).
Çözüm:
🔍 İstenen, \( A \) noktasından geçen ve verilen \( d \) doğrusuna uzaklığı her noktasında 2 birim olan bir doğrudur. Yani bu doğru, \( d \)'ye paralel ve uzaklığı 2 birim olan iki doğrudan sadece biridir (hangisi olduğunu A noktasının hangi tarafa düştüğü belirler).
- ➡️ Önce \( d \) doğrusunu standart forma getirelim: \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \) → \( \frac{1}{2}x + y - 4 = 0 \) → Tüm terimleri 2 ile çarpalım: \( x + 2y - 8 = 0 \).
- ➡️ \( d \)'ye paralel ve uzaklığı 2 birim olan doğruların denklemi \( x + 2y + c = 0 \) şeklindedir. Uzaklık formülünü yazalım: \( \frac{|c - (-8)|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = 2 \). Payda \( \sqrt{5} \).
- ➡️ \( \frac{|c + 8|}{\sqrt{5}} = 2 \) → \( |c + 8| = 2\sqrt{5} \).
Durum 1: \( c + 8 = 2\sqrt{5} \) → \( c = 2\sqrt{5} - 8 \)
Durum 2: \( c + 8 = -2\sqrt{5} \) → \( c = -2\sqrt{5} - 8 \)
- ➡️ Şimdi \( A(2, -1) \) noktasının bu doğrulardan hangisinin üzerinde olduğuna bakalım.
Doğru 1 için (\( c = 2\sqrt{5} - 8 \)): \( 2 + 2(-1) + (2\sqrt{5} - 8) = 2 - 2 + 2\sqrt{5} - 8 = 2\sqrt{5} - 8 \neq 0 \)
Doğru 2 için (\( c = -2\sqrt{5} - 8 \)): \( 2 + 2(-1) + (-2\sqrt{5} - 8) = 2 - 2 - 2\sqrt{5} - 8 = -2\sqrt{5} - 8 \neq 0 \)
Hiçbiri sağlamıyor! Demek ki A noktası, bu iki paralel doğrunun arasında kalan bölgede. Bu durumda soru, A noktasından geçen ve bu iki paralel doğruya eşit uzaklıkta olan (yani onların ortasındaki) doğruyu soruyor olmalı. Bu doğru, paralel doğrulara dik olan bir doğrudur.
- ➡️ Yeni Strateji: \( d: x + 2y - 8 = 0 \) doğrusunun eğimi \( -\frac{1}{2} \)'dir. Buna dik olan doğrunun eğimi \( 2 \) olur. A(2, -1) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemi: \( y + 1 = 2(x - 2) \) → \( y + 1 = 2x - 4 \) → \( 2x - y - 5 = 0 \).
✅ İstenen geometrik yer (A noktasından geçen ve verilen doğruya eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu doğru), \( d \)'ye dik olan bu \( 2x - y - 5 = 0 \) doğrusudur.
