Soru:
Koordinat düzleminde \( A(1, 2) \) noktasından ve \( d: x = -1 \) doğrusuna eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda, bir noktaya ve bir doğruya eşit uzaklıktaki noktaları arıyoruz. Bu bir parabol tanımıdır.
- ➡️ Nokta: \( A(1, 2) \)
- ➡️ Doğru: \( x = -1 \) (Dikey bir doğru)
- ➡️ Bir \( P(x, y) \) noktasının A noktasına uzaklığı: \( \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} \)
- ➡️ Aynı P noktasının \( x = -1 \) doğrusuna uzaklığı: \( |x + 1| \)
- ➡️ Bu iki uzaklık birbirine eşit olmalı: \( \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} = |x + 1| \)
- ➡️ İki tarafın karesini alalım: \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = (x+1)^2 \)
- ➡️ Parantezleri açalım: \( x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + 2x + 1 \)
- ➡️ Sadeleştirelim: \( -2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 2x + 1 \) → \( y^2 - 4y + 5 = 4x \)
✅ Sonuç olarak, aranan geometrik yerin denklemi \( y^2 - 4y - 4x + 5 = 0 \) olur.
