Soru:
Aşağıdaki kartezyen düzlemde \( d: 3x - 4y + 4 = 0 \) doğrusu verilmiştir. Bu doğruya olan uzaklığı 2 birim olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, verilen doğruya paralel iki doğrudan oluşur.
- ➡️ Adım 1: Doğruya uzaklık formülünü yazalım. \( A(x_0, y_0) \) noktasının \( ax+by+c=0 \) doğrusuna uzaklığı: \( \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
- ➡️ Adım 2: Bizim doğrumuz \( 3x - 4y + 4 = 0 \). Burada \( a=3, b=-4, c=4 \). Uzaklık 2 birim olacak.
- ➡️ Adım 3: Formülü uygulayalım: \( \frac{|3x - 4y + 4|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = 2 \) → \( \frac{|3x - 4y + 4|}{5} = 2 \)
- ➡️ Adım 4: Mutlak değeri kaldıralım: \( |3x - 4y + 4| = 10 \). Bu durum iki farklı denklem verir:
- \( 3x - 4y + 4 = 10 \) → \( 3x - 4y - 6 = 0 \)
- \( 3x - 4y + 4 = -10 \) → \( 3x - 4y + 14 = 0 \)
✅ Sonuç olarak, verilen doğruya 2 birim uzaklıktaki noktaların geometrik yeri \( 3x - 4y - 6 = 0 \) ve \( 3x - 4y + 14 = 0 \) doğrularıdır.
