Soru:
\( A(1, -2) \) noktasından ve \( d: y = 2x + 1 \) doğrusuna eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda, bir noktaya ve bir doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerini (parabol) arıyoruz.
- ➡️ Adım 1: Bir \( P(x, y) \) noktasının \( A(1, -2) \) noktasına uzaklığını yazalım: \( \sqrt{(x-1)^2 + (y+2)^2} \)
- ➡️ Adım 2: Aynı \( P(x, y) \) noktasının \( d: y = 2x + 1 \) doğrusuna uzaklığını yazalım. Doğruyu standart forma getirelim: \( 2x - y + 1 = 0 \). Uzaklık: \( \frac{|2x - y + 1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|2x - y + 1|}{\sqrt{5}} \)
- ➡️ Adım 3: Bu iki uzaklık birbirine eşit olacak: \( \sqrt{(x-1)^2 + (y+2)^2} = \frac{|2x - y + 1|}{\sqrt{5}} \)
- ➡️ Adım 4: Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak mutlak değerden kurtulalım:
\( (x-1)^2 + (y+2)^2 = \frac{(2x - y + 1)^2}{5} \)
\( 5[(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4)] = (2x - y + 1)^2 \)
\( 5(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5) = 4x^2 -4xy + y^2 + 4x -2y + 1 \)
\( 5x^2 + 5y^2 - 10x + 20y + 25 = 4x^2 -4xy + y^2 + 4x -2y + 1 \)
- ➡️ Adım 5: Tüm terimleri bir tarafa toplayıp sadeleştirelim:
\( x^2 + 4y^2 + 4xy -14x + 22y + 24 = 0 \)
✅ Sonuç olarak, geometrik yer denklemi \( x^2 + 4xy + 4y^2 -14x + 22y + 24 = 0 \) olarak bulunur. Bu bir parabol denklemidir.
