Soru:
Köşe koordinatları \( A(0,0), B(4,0), C(4,3) \) olan bir dik üçgenin hipotenüsüne (en uzun kenarına) eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
Çözüm:
💡 Önce hipotenüsü belirlemeliyiz. En uzun kenar, uzunlukları hesaplayarak hipotenüsün \( A(0,0) \) ve \( C(4,3) \) noktalarını birleştiren doğru olduğunu buluruz.
- ➡️ Adım 1: Hipotenüsün denklemini bulalım. \( A(0,0) \) ve \( C(4,3) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi: \( m = \frac{3-0}{4-0} = \frac{3}{4} \). Denklem: \( y = \frac{3}{4}x \). Standart forma getirelim: \( 3x - 4y = 0 \).
- ➡️ Adım 2: Bir \( P(x, y) \) noktasının bu doğruya uzaklığını yazalım: \( \frac{|3x - 4y|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|3x - 4y|}{5} \)
- ➡️ Adım 3: Bu uzaklık sabit bir değer değil, soru "eşit uzaklıktaki noktalar" diyor. Bu, hipotenüse olan uzaklığın sabit olduğu anlamına gelmez. Hipotenüse eşit uzaklıkta olan noktalar, hipotenüse paralel iki doğru üzerindedir. Ancak sorunun amacı, üçgenin iç bölgesindeki noktalar için hipotenüse olan dik uzaklığın, diğer iki dik kenara olan uzaklıklarla ilişkisini kurmaktır. Daha basit ve doğrudan bir yorumla, "bir doğruya eşit uzaklıktaki noktalar" kavramına uygun olarak, hipotenüse uzaklığı \( k \) birim olan noktaların geometrik yerini sorduğunu varsayalım. Fakat \( k \) verilmediği için cevap parametrik olacaktır.
- ➡️ Adım 4 (Basitleştirilmiş Çözüm): Soruyu, hipotenüse olan uzaklığın \( k \) birim olduğu noktaların geometrik yeri olarak ele alalım.
\( \frac{|3x - 4y|}{5} = k \)
\( |3x - 4y| = 5k \)
Bu da bize iki paralel doğru verir:
\( 3x - 4y - 5k = 0 \) ve \( 3x - 4y + 5k = 0 \)
✅ Sonuç olarak, geometrik yer, \( 3x - 4y - 5k = 0 \) ve \( 3x - 4y + 5k = 0 \) doğrularıdır. (\( k > 0 \))
