Soru:
\( d_1: x + y - 3 = 0 \) ve \( d_2: x + y + 5 = 0 \) paralel doğruları veriliyor. Bu iki doğruya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
Çözüm:
💡 İki paralel doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, bu iki doğrunun tam ortasından geçen ve onlara paralel olan bir doğrudur.
- ➡️ Adım 1: Önce bu iki doğruya eşit uzaklıkta olan bir nokta bulalım. İki paralel doğruya eşit uzaklık, aslında bu iki doğrunun ara doğrusudur.
- ➡️ Adım 2: \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının sabit terimleri farklı, katsayıları aynı. Ara doğrunun denklemi \( x + y + c = 0 \) formatında olacak. \( c \) değerini, \( d_1 \) ve \( d_2 \)'nin sabit terimlerinin aritmetik ortalaması alınarak bulunur.
- ➡️ Adım 3: \( d_1 \)'in sabit terimi: \( -3 \), \( d_2 \)'nin sabit terimi: \( +5 \). Aritmetik ortalaması: \( \frac{-3 + 5}{2} = 1 \).
- ➡️ Adım 4: Ara doğrunun denklemi: \( x + y + 1 = 0 \) olur.
- ➡️ Adım 5 (Doğrulama): Herhangi bir noktanın iki doğruya uzaklığını formülle kontrol edelim. \( P(x,y) \) noktasının \( d_1 \)'e uzaklığı: \( \frac{|x+y-3|}{\sqrt{2}} \), \( d_2 \)'ye uzaklığı: \( \frac{|x+y+5|}{\sqrt{2}} \). Bu iki uzaklığın eşit olması için \( |x+y-3| = |x+y+5| \) olmalı. Bu eşitlik, \( x+y-3 = -(x+y+5) \) durumunda sağlanır (diğer durum işlemi sağlamaz). Bu denklemi çözelim: \( x+y-3 = -x -y -5 \) → \( 2x + 2y + 2 = 0 \) → \( x + y + 1 = 0 \).
✅ Sonuç olarak, iki paralel doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri \( x + y + 1 = 0 \) doğrusudur.
