Soru:
Cebirsel olarak \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) özdeşliğini ispatlayınız ve ardından bu özdeşliğin geometrik temsilini bir dikdörtgenin alanı üzerinden açıklayınız.
Çözüm:
💡 Bu özdeşlik, iki kare farkı olarak bilinir ve hem cebirsel hem de geometrik olarak gösterilebilir.
- ➡️ Cebirsel İspat:
- Sağ taraftaki ifadeyi dağılma özelliği ile çarpalım: \((a-b)(a+b) = a(a+b) - b(a+b)\)
- İçeri dağıtalım: \(a^2 + ab - ab - b^2\)
- Sadeleştirelim: \(a^2 - b^2\)
- ➡️ Geometrik Temsil:
- Bir kenarı \(a\) olan bir kareden, bir kenarı \(b\) olan bir kareyi çıkaralım. Kalan alan \(a^2 - b^2\)'dir.
- Bu kalan bölgeyi, yan kenarları \(a-b\) ve \(a+b\) olan bir dikdörtgen olarak yeniden düzenleyebiliriz.
- Bunu yapmak için, kalan L şeklindeki bölgeyi iki dikdörtgene ayırır ve bu dikdörtgenleri yan yana getiririz. Oluşan yeni şeklin bir kenarı \(a-b\), diğer kenarı \(a+b\) olur.
- Yeni dikdörtgenin alanı ise \((a-b)(a+b)\)'dir.
✅ Sonuç olarak, aynı bölgenin alanını hem \(a^2 - b^2\) hem de \((a-b)(a+b)\) olarak ifade ettiğimiz için özdeşlik geometrik olarak da doğrulanmış olur.
