Soru:
Kenar uzunlukları \((2x + 1)\) ve \((2x - 1)\) birim olan bir dikdörtgenin alanını bulunuz. Cevabınızı hem cebirsel bir özdeşlik kullanarak hem de bu özdeşliğin geometrik temsilini düşünerek elde ediniz.
Çözüm:
💡 Bu soru, \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) özdeşliğinin bir uygulamasıdır. Burada \(a=2x\) ve \(b=1\)'dir.
- ➡️ Cebirsel Çözüm:
- Dikdörtgenin alanı = \((2x+1)(2x-1)\)
- İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
- \(a=2x\) ve \(b=1\) yerine koyalım: \((2x)^2 - (1)^2\)
- İşlemi tamamlayalım: \(4x^2 - 1\)
- ➡️ Geometrik Temsil ve Mantığı:
- Bu özdeşliğin geometrik temsili, bir kenarı \(a\) olan kareden bir kenarı \(b\) olan karenin çıkarılmasıdır.
- Bizim sorumuzda, genişliği \(2x+1\) ve yüksekliği \(2x-1\) olan bir dikdörtgen düşünelim.
- Bu dikdörtgenin alanı, aslında bir kenarı \(2x\) olan büyük bir karenin alanından (\((2x)^2 = 4x^2\)), bir kenarı \(1\) birim olan küçük bir karenin alanının (\(1^2 = 1\)) çıkarılmasıyla elde edilebilecek bir alana eşdeğerdir.
- Bu nedenle alan \(4x^2 - 1\) birimkare olur.
✅ Sonuç olarak, dikdörtgenin alanı hem cebirsel işlemlerle hem de geometrik mantık yürütmeyle \(4x^2 - 1\) olarak bulunur.
