Soru:
\( 9x^2 - 25y^2 \) ifadesini, iki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırınız. Bu özdeşliğin geometrik temsilini bir dikdörtgenin alanı üzerinden açıklayınız.
Çözüm:
💡 İki kare farkı özdeşliği: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
- ➡️ Cebirsel Çözüm: Verilen ifadeyi \( (3x)^2 - (5y)^2 \) şeklinde yazabiliriz. Burada \(a=3x\) ve \(b=5y\)'dir. Özdeşliği uygularsak: \( (3x - 5y)(3x + 5y) \) sonucunu elde ederiz.
- ➡️ Geometrik Temsil: Bir kenarı \(a+b\) ve diğer kenarı \(a-b\) olan bir dikdörtgen düşünelim. Bu dikdörtgenin alanı \( (a+b)(a-b) \)'dir.
- ➡️ Aynı alana sahip, bir kenarı \(a\) olan bir kareden, bir kenarı \(b\) olan bir kareyi çıkardığımızı hayal edelim. Kalan alan \(a^2 - b^2\)'dir.
✅ Sonuç olarak, kalan alanın şekli bir dikdörtgendir ve bu dikdörtgenin alanı hem \(a^2 - b^2\)'ye, hem de \( (a+b)(a-b) \)'ye eşittir. Bu da özdeşliği geometrik olarak kanıtlar.
