Soru:
\( (x-4)^2 \) ifadesini, tam kare özdeşliğini kullanarak cebirsel olarak açınız. Ardından, bu özdeşliği bir kare üzerinde alan parçalarına ayırarak geometrik olarak modelleyiniz.
Çözüm:
💡 Tam kare fark özdeşliği: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
- ➡️ Cebirsel Çözüm: Burada \(a=x\) ve \(b=4\)'tür. Özdeşliği uygularsak: \( (x-4)^2 = x^2 - 2(x)(4) + 4^2 = x^2 - 8x + 16 \).
- ➡️ Geometrik Temsil: Bir kenarı \(a\) (yani \(x\)) olan bir kare çizelim. Bu karenin alanı \(x^2\)'dir. Şimdi, bu kareden alanı \(b^2\) (yani \(16\)) olan bir parçayı ve iki tane alanı \(ab\) (yani \(4x\)) olan dikdörtgeni çıkarmak istiyoruz. Ancak, \(b^2\)'lik kareyi çıkarırken, \(ab\)'lik dikdörtgenlerden bir miktar alanı iki kere çıkarmış oluruz. Bu fazladan çıkarılan alanı geri eklememiz gerekir.
- ➡️ Doğrudan bir kenarı \( (x-4) \) olan bir kare çizmek daha nettir. Bu karenin alanı \( (x-4)^2 \)'dir. Bu kare, kenarı \(x\) olan büyük karenin içinde, bir kenardan \(4\) birim içeridedir. Büyük karenin geri kalan parçalarının alanları \(4x\), \(4x\) ve \(16\)'dır. Yani, \(x^2 = (x-4)^2 + 4x + 4x - 16\) düzenlemesiyle \( (x-4)^2 = x^2 - 8x + 16 \) elde edilir.
✅ Sonuç olarak, hem cebirsel hem de geometrik olarak \( (x-4)^2 = x^2 - 8x + 16 \) olduğu gösterilir.
