9. Sınıf Özdeşliklerin Cebirsel ve Geometrik Temsilleri Nedir?

Bir kenar uzunluğu \( (2m + 3n) \) birim olan karenin alanını, önce formül kullanmadan parçalara ayırarak, sonra da özdeşlik formülünü uygulayarak bulunuz. İki yöntemin de aynı sonucu verdiğini gösteriniz.

💡 Bu soru, \( (a+b)^2 \) özdeşliğinin somut bir sayısal örneğini ve geometrik yorumunu birleştirmektedir. \(a=2m\), \(b=3n\) alacağız.

• ➡️ Yöntem 1 (Parçalara Ayırarak - Geometrik): Kenarı \(2m+3n\) olan kareyi çizelim. Bu kare, dört farklı bölgeden oluşur:
  • Alanı \( (2m)^2 = 4m^2 \) olan kare,
  • Alanı \( (3n)^2 = 9n^2 \) olan kare,
  • Alanı \( (2m)(3n) = 6mn \) olan iki tane eş dikdörtgen.
  Toplam alan: \(4m^2 + 9n^2 + 6mn + 6mn = 4m^2 + 12mn + 9n^2\).
• ➡️ Yöntem 2 (Özdeşlik Formülü - Cebirsel): \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) özdeşliğini uygulayalım. \( (2m + 3n)^2 = (2m)^2 + 2(2m)(3n) + (3n)^2 = 4m^2 + 12mn + 9n^2 \).

✅ Sonuç olarak, hem geometrik alan hesabı hem de cebirsel özdeşlik bize aynı sonucu, \(4m^2 + 12mn + 9n^2\) ifadesini vermiştir. Bu, özdeşliklerin gücünü ve geometrik temsillerinin doğruluğunu gösterir.