Soru:
Bir sınavda, öğrencilerin 5 soruluk çoktan seçmeli bir testte doğru cevap verme olasılığı 0.75'tir. Doğru cevap sayısının (X) olasılık spektrumunu oluşturan binom dağılımının genel formülünü yazınız ve X=3 için olasılığı hesaplayınız.
Çözüm:
📊 Bu, bir Binom Dağılımı örneğidir. Olasılık spektrumu, X=0'dan X=5'e kadar tüm değerler için \( P(X=k) \) olasılıklarını içerir.
- ➡️ Adım 1: Binom Dağılımı Formülünü Tanımla
Binom dağılımının genel formülü: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
Burada:
- \( n = 5 \) (deneme sayısı)
- \( k \) = doğru cevap sayısı (0, 1, 2, 3, 4, 5)
- \( p = 0.75 \) (başarı olasılığı)
- \( 1-p = 0.25 \) (başarısızlık olasılığı)
- ➡️ Adım 2: X=3 İçin Olasılığı Hesapla
Formülü kullanarak:
\( P(X=3) = \binom{5}{3} (0.75)^3 (0.25)^{5-3} \)
\( P(X=3) = 10 \times (0.421875) \times (0.0625) \)
\( P(X=3) = 10 \times 0.0263671875 \)
\( P(X=3) = 0.263671875 \)
- ➡️ Adım 3: Olasılık Spektrumunu Anlamlandır
Olasılık spektrumu, \( k \)'nın 0'dan 5'e kadar tüm değerleri için bu formülle hesaplanan değerlerin tamamıdır.
✅ Doğru cevap sayısının (X) olasılık spektrumu, \( P(X=k) = \binom{5}{k} (0.75)^k (0.25)^{5-k} \) formülüyle tanımlanır. Örneğin, tam olarak 3 doğru cevap verme olasılığı yaklaşık 0.264'tür.
