Soru:
\( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10 \) fonksiyonunun yerel maksimum ve minimum noktalarını bulunuz.
Çözüm:
🔍 Bu bir üçüncü dereceden polinom fonksiyondur. Kritik noktaları bulup ikinci türev testi ile türlerini belirleyeceğiz.
- ➡️ 1. Adım: Birinci türevi alalım.
\( f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \)
- ➡️ 2. Adım: Türevi sıfıra eşitleyip çarpanlarına ayıralım.
\( 3x^2 - 6x - 9 = 0 \)
\( 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \)
\( 3(x - 3)(x + 1) = 0 \)
Kritik noktalar: \( x = -1 \) ve \( x = 3 \)
- ➡️ 3. Adım: İkinci türevi alalım.
\( f''(x) = 6x - 6 \)
- ➡️ 4. Adım: İkinci türev testini uygulayalım.
\( x = -1 \) için: \( f''(-1) = 6(-1) - 6 = -12 < 0 \) → Yerel Maksimum
\( x = 3 \) için: \( f''(3) = 6(3) - 6 = 12 > 0 \) → Yerel Minimum
- ➡️ 5. Adım: Noktaların koordinatlarını bulalım.
\( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 10 = -1 - 3 + 9 + 10 = 15 \) → Maks. Nokta: \( (-1, 15) \)
\( f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 10 = 27 - 27 - 27 + 10 = -17 \) → Min. Nokta: \( (3, -17) \)
✅ Sonuç: Fonksiyonun yerel maksimum noktası \( (-1, 15) \) ve yerel minimum noktası \( (3, -17) \)'dir.
