Soru:
\( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 \) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını ve değerlerini bulunuz.
Çözüm:
🧠 Bu örnekte kesirli katsayılı bir fonksiyonun ekstremum noktalarını bulacağız.
- ➡️ 1. Adım: Birinci türevi alalım.
\( f'(x) = x^2 - x - 2 \)
- ➡️ 2. Adım: Türevi sıfıra eşitleyip çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 - x - 2 = 0 \)
\( (x - 2)(x + 1) = 0 \)
Kritik noktalar: \( x = -1 \) ve \( x = 2 \)
- ➡️ 3. Adım: İkinci türevi alalım.
\( f''(x) = 2x - 1 \)
- ➡️ 4. Adım: İkinci türev testini uygulayalım.
\( x = -1 \) için: \( f''(-1) = 2(-1) - 1 = -3 < 0 \) → Yerel Maksimum
\( x = 2 \) için: \( f''(2) = 2(2) - 1 = 3 > 0 \) → Yerel Minimum
- ➡️ 5. Adım: Ekstremum değerleri hesaplayalım.
\( f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1) + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + 1 = \frac{13}{6} \)
\( f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) + 1 = \frac{8}{3} - 2 - 4 + 1 = -\frac{7}{3} \)
✅ Sonuç: Fonksiyonun yerel maksimum noktası \( \left(-1, \frac{13}{6}\right) \) ve yerel minimum noktası \( \left(2, -\frac{7}{3}\right) \)'tür.
