Soru:
\( g(x) = -x^2 + 6x - 5 \) fonksiyonunun yerel maksimum noktasını ve maksimum değerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu ikinci dereceden bir fonksiyondur ve kolları aşağı doğru olduğu için bir maksimum noktası vardır.
- ➡️ 1. Adım: Fonksiyonun birinci türevini alalım: \( g'(x) = -2x + 6 \)
- ➡️ 2. Adım: Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulalım: \( -2x + 6 = 0 \) → \( x = 3 \)
- ➡️ 3. Adım: İkinci türev testi uygulayalım: \( g''(x) = -2 \) → \( g''(3) = -2 < 0 \). Bu, \( x = 3 \) noktasının bir yerel maksimum olduğunu gösterir.
- ➡️ 4. Adım: Maksimum değeri bulmak için \( x = 3 \)'ü fonksiyonda yerine koyalım: \( g(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 \)
✅ Sonuç: Fonksiyonun yerel maksimum noktası \( (3, 4) \)'tür. Maksimum değer ise \( 4 \)'tür.
