Soru:
\( k(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 \) fonksiyonunun yerel ekstremum (maksimum ve minimum) noktalarını bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu fonksiyonun ekstremum noktalarını bulmak için türev ve işaret tablosu kullanacağız.
- ➡️ 1. Adım: Birinci türevi alalım: \( k'(x) = x^2 - x - 2 \)
- ➡️ 2. Adım: Türevi sıfıra eşitleyelim: \( x^2 - x - 2 = 0 \). Denklemi çözelim: \( (x - 2)(x + 1) = 0 \) → \( x = 2 \) ve \( x = -1 \)
- ➡️ 3. Adım: İkinci türevi alalım: \( k''(x) = 2x - 1 \)
- ➡️ 4. Adım: İkinci türev testini uygulayalım:
- \( x = -1 \) için: \( k''(-1) = -3 < 0 \) → Yerel Maksimum
- \( x = 2 \) için: \( k''(2) = 3 > 0 \) → Yerel Minimum
- ➡️ 5. Adım: Bu noktaların koordinatlarını bulalım:
- Maksimum Nokta: \( k(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1) + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + 1 = \frac{13}{6} \) → \( (-1, \frac{13}{6}) \)
- Minimum Nokta: \( k(2) = \frac{1}{3}(8) - \frac{1}{2}(4) - 4 + 1 = \frac{8}{3} - 2 - 4 + 1 = -\frac{7}{3} \) → \( (2, -\frac{7}{3}) \)
✅ Sonuç: Fonksiyonun yerel maksimum noktası \( (-1, \frac{13}{6}) \) ve yerel minimum noktası \( (2, -\frac{7}{3}) \)'tür.
