Soru:
\( g(x) = -x^2 + 6x - 5 \) fonksiyonunun yerel maksimum noktasını ve maksimum değerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu bir ikinci dereceden fonksiyondur ve kolları aşağı doğrudur, bu nedenle bir maksimum noktası vardır.
- ➡️ 1. Adım: Türev Alma
Fonksiyonun türevini alalım: \( g'(x) = -2x + 6 \)
- ➡️ 2. Adım: Kritik Noktayı Bulma
Türevi sıfıra eşitleyelim: \( -2x + 6 = 0 \) → \( x = 3 \)
- ➡️ 3. Adım: İkinci Türev Testi
İkinci türevi alalım: \( g''(x) = -2 \). \( g''(3) = -2 < 0 \) olduğu için \( x = 3 \) noktası bir yerel maksimum noktasıdır.
- ➡️ 4. Adım: Maksimum Değeri Hesaplama
Maksimum değeri bulmak için \( x = 3 \)'ü orijinal fonksiyonda yerine koyalım: \( g(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 \)
✅ Sonuç: Fonksiyonun yerel maksimum noktası \( (3, 4) \)'tür ve maksimum değeri \( 4 \)'tür.
