Soru:
\( h(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) fonksiyonunun yerel maksimum ve minimum noktalarını bulunuz.
Çözüm:
🔍 Bu bir üçüncü dereceden polinom fonksiyondur. Hem maksimum hem de minimum noktası olabilir.
- ➡️ 1. Adım: Türev Alma
Fonksiyonun türevini alalım: \( h'(x) = 3x^2 - 6x \)
- ➡️ 2. Adım: Kritik Noktaları Bulma
Türevi sıfıra eşitleyelim: \( 3x^2 - 6x = 0 \) → \( 3x(x - 2) = 0 \) → \( x = 0 \) ve \( x = 2 \)
- ➡️ 3. Adım: İkinci Türev Testi
İkinci türevi alalım: \( h''(x) = 6x - 6 \).
\( x = 0 \) için: \( h''(0) = -6 < 0 \) → Yerel Maksimum
\( x = 2 \) için: \( h''(2) = 6 > 0 \) → Yerel Minimum
- ➡️ 4. Adım: Noktaları Hesaplama
Maksimum nokta için \( x = 0 \): \( h(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \) → Nokta: \( (0, 4) \)
Minimum nokta için \( x = 2 \): \( h(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \) → Nokta: \( (2, 0) \)
✅ Sonuç: Fonksiyonun yerel maksimum noktası \( (0, 4) \) ve yerel minimum noktası \( (2, 0) \)'dır.
