Soru:
\( k(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) fonksiyonunun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz.
Çözüm:
📈 Bu bir rasyonel fonksiyondur ve tanım kümesi tüm reel sayılardır. Mutlak ekstremum değerlerini arayacağız.
- ➡️ 1. Adım: Türev Alma (Bölüm Kuralı)
\( k'(x) = \frac{(1)(x^2+1) - (x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} \)
- ➡️ 2. Adım: Kritik Noktaları Bulma
Payı sıfıra eşitleyelim: \( 1 - x^2 = 0 \) → \( x^2 = 1 \) → \( x = 1 \) ve \( x = -1 \)
- ➡️ 3. Adım: İşaret Tablosu veya İkinci Türev Testi
İkinci türev testi uygulayalım (veya limitlere bakalım). Fonksiyon tek olduğu için simetriktir.
\( x \to \pm\infty \) için \( k(x) \to 0 \).
\( k(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \)
\( k(-1) = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2} \)
- ➡️ 4. Adım: Değerlendirme
Fonksiyonun \( x=1 \)'de aldığı değer \( \frac{1}{2} \), \( x=-1 \)'de aldığı değer \( -\frac{1}{2} \) ve sonsuzda 0'a yakınsadığı için:
Mutlak Maksimum Değer: \( \frac{1}{2} \)
Mutlak Minimum Değer: \( -\frac{1}{2} \)
✅ Sonuç: Fonksiyonun mutlak maksimum değeri \( \frac{1}{2} \), mutlak minimum değeri ise \( -\frac{1}{2} \)'dir.
