Soru:
\( z = \frac{4 + 2i}{1 - i} \) karmaşık sayısının sanal kısmı (\( \text{Im}(z) \)) kaçtır?
Çözüm:
💡 Bir kesrin sanal kısmını bulmak için, paydayı eşlenik ile genişleterek paydayı gerçel sayı yaparız. Ardından sonucu \( a + bi \) formatında yazarız.
- ➡️ Paydanın eşleniği \( 1 + i \)'dir. Payı ve paydayı \( 1 + i \) ile çarpalım: \( \frac{(4 + 2i)}{(1 - i)} \cdot \frac{(1 + i)}{(1 + i)} \)
- ➡️ Pay kısmını hesaplayalım: \( (4 + 2i)(1 + i) = 4\cdot1 + 4\cdot i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot i = 4 + 4i + 2i + 2i^2 \)
- ➡️ \( i^2 = -1 \) yerine koyarsak: \( 4 + 6i + 2(-1) = 4 + 6i - 2 = 2 + 6i \)
- ➡️ Payda kısmını hesaplayalım: \( (1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \)
- ➡️ Kesrimiz artık şu hale gelir: \( \frac{2 + 6i}{2} \)
- ➡️ Her terimi 2'ye bölelim: \( 1 + 3i \)
- ➡️ Bu, \( a + bi \) formatındadır. Sanal kısım \( \text{Im}(z) \), \( i \)'nin katsayısı olan 3'tür.
✅ Sonuç: \( \text{Im}(z) = 3 \)
