Soru:
\( z = (3 + i)(2 - 5i) \) karmaşık sayısının sanal kısmı (Im(z)) kaçtır?
Çözüm:
💡 İki karmaşık sayının çarpımının sanal kısmını bulmak için önce çarpım işlemini yapıp sonucu \( a + bi \) formuna getirmeliyiz.
- ➡️ Çarpma işlemini dağılma özelliği ile yapalım:
\( z = (3 + i)(2 - 5i) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot (-5i) + i \cdot 2 + i \cdot (-5i) \)
- ➡️ Terimleri hesaplayalım:
\( z = 6 - 15i + 2i - 5i^2 \)
- ➡️ \( i^2 = -1 \) olduğunu hatırlayalım ve yerine koyalım:
\( z = 6 - 15i + 2i - 5 \cdot (-1) \)
\( z = 6 - 15i + 2i + 5 \)
- ➡️ Gerçel ve sanal terimleri gruplayalım:
Gerçel kısım: \( 6 + 5 = 11 \)
Sanal kısım: \( -15i + 2i = -13i \)
Böylece \( z = 11 - 13i \) elde edilir.
- ➡️ \( z = 11 - 13i \) sayısında sanal kısım, \( i \)'nin katsayısı olan -13'tür.
✅ Sonuç: \( Im(z) = -13 \)
