Soru:
\( z = \frac{4 + 2i}{1 - i} \) karmaşık sayısının sanal kısmını (Im(z)) bulunuz.
Çözüm:
💡 Paydadaki karmaşık sayıyı (eşlenik ile genişleterek) gerçel bir sayıya dönüştürmeliyiz. Paydanın eşleniği \( 1 + i \)'dir.
- ➡️ Kesri, paydanın eşleniği ile genişletelim:
\( z = \frac{(4 + 2i)}{(1 - i)} \cdot \frac{(1 + i)}{(1 + i)} \)
- ➡️ Payı çarpalım:
\( (4 + 2i)(1 + i) = 4\cdot1 + 4\cdot i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot i \)
\( = 4 + 4i + 2i + 2i^2 \)
\( i^2 = -1 \) yerine konulursa:
\( = 4 + 4i + 2i + 2 \cdot (-1) \)
\( = 4 + 4i + 2i - 2 \)
\( = 2 + 6i \)
- ➡️ Paydayı çarpalım (iki kare farkı):
\( (1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \)
- ➡️ Elde edilen sonucu yazalım:
\( z = \frac{2 + 6i}{2} = \frac{2}{2} + \frac{6i}{2} = 1 + 3i \)
- ➡️ \( z = 1 + 3i \) sayısında sanal kısım, \( i \)'nin katsayısı olan 3'tür.
✅ Sonuç: \( Im(z) = 3 \)
