Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( [AH] \), \( [BC] \) kenarına ait yüksekliktir. \( |AB| = 13 \) cm, \( |AC| = 15 \) cm ve \( |BC| = 14 \) cm'dir. Buna göre \( |AH| \) yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Yükseklik uzunluğunu bulmak için üçgenin alanından faydalanacağız. Alanı iki farklı şekilde hesaplayıp eşitleyeceğiz.
- ➡️ 1. Adım: Üçgenin alanını Heron Formülü ile hesaplayalım. Çevre \( u = \frac{13+15+14}{2} = \frac{42}{2} = 21 \) cm.
Alan \( A = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)} \)
\( A = \sqrt{21 \times 8 \times 6 \times 7} = \sqrt{21 \times 336} = \sqrt{7056} \)
\( A = 84 \) cm² bulunur.
- ➡️ 2. Adım: Aynı alanı, \( BC \) kenarını taban ve \( AH \)'yi yükseklik kabul ederek de yazabiliriz.
\( A = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{|BC| \times |AH|}{2} \)
\( 84 = \frac{14 \times |AH|}{2} \)
- ➡️ 3. Adım: Denklemi çözelim.
\( 84 = 7 \times |AH| \)
\( |AH| = \frac{84}{7} = 12 \)
✅ Sonuç olarak, \( A \) köşesinden \( BC \) kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu \( |AH| = 12 \) cm'dir.
