Soru:
Bir üçgenin ağırlık merkezi \( G(2, 3) \) noktasıdır. Bu üçgenin bir kenarortayının uç noktaları \( A(-1, 6) \) ve \( B(5, 0) \)'dır. B noktası bir köşe olduğuna göre, kenarortayın diğer ucu A'nın karşı kenar üzerindeki hangi noktaya ait olduğunu bulunuz. (Yani, [BC] kenarının orta noktası A ise, C köşesinin koordinatlarını bulunuz.)
Çözüm:
💡 Ağırlık merkezi, kenarortayı 2'ye 1 oranında böler. B köşesi, G ağırlık merkezi ve A orta nokta aynı doğru üzerindedir. B noktası köşe, A noktası ise karşı kenarın orta noktasıdır. Ağırlık merkezi formülünü kullanarak C köşesini bulabiliriz.
- ➡️ 1. Adım: A noktası [BC]'nin orta noktasıdır. B(5, 0) ve C(x, y) olsun. Orta nokta formülünden:
\( \frac{5 + x}{2} = -1 \) → \( 5 + x = -2 \) → \( x = -7 \)
\( \frac{0 + y}{2} = 6 \) → \( y = 12 \)
- ➡️ 2. Adım (Kontrol): Bulduğumuz C(-7, 12) noktasını kullanarak ağırlık merkezini tekrar hesaplayalım ve G(2, 3) olduğunu doğrulayalım.
\( G_x = \frac{B_x + C_x + (A'nın karşısındaki köşe)_x}{3} \). Burada A bir köşe değil, orta noktadır. Köşeler B(5,0), C(-7,12) ve diğer köşe (A'nın ait olduğu kenarın diğer ucu) olmalı. Soruda eksik bir mantık var. Düzeltelim: A noktası [BC]'nin orta noktası ise, üçgenin köşeleri B, C ve diğeri (D diyelim)'dir. Ağırlık merkezi formülü \( G = \frac{B + C + D}{3} \) şeklindedir.
\( \frac{B + C + D}{3} = G \)
\( \frac{(5, 0) + (-7, 12) + D}{3} = (2, 3) \)
\( \frac{(-2, 12) + D}{3} = (2, 3) \)
\( (-2, 12) + D = (6, 9) \)
\( D = (6 - (-2), 9 - 12) = (8, -3) \)
✅ Sonuç: A noktasının karşı kenar üzerindeki köşe \( D(8, -3) \) noktasıdır. Bu durumda A noktası [BC]'nin orta noktası olduğundan, B(5,0) ve C(-7,12) köşeleri ile D(8,-3) köşesi üçgeni oluşturur.
