Soru:
Bir hastalık için yapılan testin doğruluk oranı şu şekildedir:
- Hastalığın toplumda görülme sıklığı (P(H)) = \( \frac{1}{1000} \)
- Hastalığı olan birinde testin pozitif çıkma olasılığı (P(T|H)) = 0.99
- Hastalığı olmayan birinde testin pozitif çıkma olasılığı (P(T|H')) = 0.01
Rastgele seçilen bir kişinin test sonucu pozitif çıkıyor. Bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı (P(H|T)) nedir?
Çözüm:
💡 Bayes Teoremi formülünü kullanacağız: \( P(H|T) = \frac{P(T|H) \cdot P(H)}{P(T)} \)
- ➡️ 1. Adım: Bilinenleri yazalım.
- P(H) = 0.001
- P(T|H) = 0.99
- P(T|H') = 0.01
- ➡️ 2. Adım: Toplam Olasılık kuralı ile P(T)'yi hesaplayalım.
- P(T) = P(T|H) * P(H) + P(T|H') * P(H')
- P(H') = 1 - P(H) = 0.999
- P(T) = (0.99 * 0.001) + (0.01 * 0.999) = 0.00099 + 0.00999 = 0.01098
- ➡️ 3. Adım: Bayes Teoremi'nde yerine koyalım.
- P(H|T) = (0.99 * 0.001) / 0.01098
- P(H|T) = 0.00099 / 0.01098 ≈ 0.09016
✅ Sonuç: Testi pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı sadece yaklaşık %9'dur. Bu, nadir hastalıklar için testlerin yanıltıcı olabileceğini gösterir.
