Soru:
Bir fabrikada üretim hattında 3 makine (A, B, C) çalışmaktadır. Bu makinelerin üretim ve hata oranları aşağıdaki gibidir:
- Makine A: Toplam üretimin %50'sini yapar ve ürünlerinin %1'i hatalıdır.
- Makine B: Toplam üretimin %30'unu yapar ve ürünlerinin %2'si hatalıdır.
- Makine C: Toplam üretimin %20'sini yapar ve ürünlerinin %3'ü hatalıdır.
Rastgele seçilen bir ürün hatalı çıktığına göre, bu ürünün Makine B'de üretilmiş olma olasılığı nedir?
Çözüm:
💡 Olayları tanımlayalım: H: Ürünün hatalı olması. A, B, C: Ürünün ilgili makineden gelmesi. P(B|H)'yi bulmak istiyoruz.
- ➡️ 1. Adım: Önsel (Prior) Olasılıkları yazalım.
- P(A) = 0.50, P(H|A) = 0.01
- P(B) = 0.30, P(H|B) = 0.02
- P(C) = 0.20, P(H|C) = 0.03
- ➡️ 2. Adım: Toplam Olasılık kuralı ile P(H)'yi hesaplayalım.
- P(H) = P(H|A)*P(A) + P(H|B)*P(B) + P(H|C)*P(C)
- P(H) = (0.01*0.50) + (0.02*0.30) + (0.03*0.20)
- P(H) = 0.005 + 0.006 + 0.006 = 0.017
- ➡️ 3. Adım: Bayes Teoremi'ni uygulayalım.
- \( P(B|H) = \frac{P(H|B) \cdot P(B)}{P(H)} \)
- P(B|H) = (0.02 * 0.30) / 0.017
- P(B|H) = 0.006 / 0.017 ≈ 0.3529
✅ Sonuç: Hatalı bir ürünün Makine B'den gelme olasılığı yaklaşık %35.29'dur.
