Soru:
Bir hastalık için yapılan bir testin doğruluk oranı şu şekildedir:
- Hastalığı olan bir kişinin testi pozitif çıkma olasılığı (Duyarlılık): \( P(T^+|H) = 0.99 \)
- Hastalığı olmayan bir kişinin testi negatif çıkma olasılığı (Seçicilik): \( P(T^-|H^c) = 0.95 \)
- Toplumda bu hastalığın görülme sıklığı (Temel Oran): \( P(H) = 0.001 \)
Rastgele seçilen bir kişinin test sonucu pozitif çıkıyor. Bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı \( P(H|T^+) \) nedir?
Çözüm:
💡 Bu bir klasik Bayes sorusudur. Amacımız, test pozitif çıktığına göre, kişinin hasta olma olasılığını bulmaktır.
- ➡️ 1. Adım: Bilinenleri ve İsteneni Yazalım
İstenen: \( P(H|T^+) \)
Bilinenler: \( P(T^+|H) = 0.99 \), \( P(T^-|H^c) = 0.95 \), \( P(H) = 0.001 \)
\( P(H^c) = 1 - P(H) = 0.999 \)
- ➡️ 2. Adım: Eksik Olasılıkları Hesaplayalım
\( P(T^+|H^c) = 1 - P(T^-|H^c) = 1 - 0.95 = 0.05 \) (Sağlıklı birinin testi yanlışlıkla pozitif çıkma olasılığı)
- ➡️ 3. Adım: Toplam Olasılık Teoremi ile \( P(T^+) \)'yi Bulalım
\( P(T^+) = P(T^+|H)P(H) + P(T^+|H^c)P(H^c) \)
\( P(T^+) = (0.99 \times 0.001) + (0.05 \times 0.999) \)
\( P(T^+) = 0.00099 + 0.04995 = 0.05094 \)
- ➡️ 4. Adım: Bayes Teoremini Uygulayalım
\( P(H|T^+) = \frac{P(T^+|H) \times P(H)}{P(T^+)} \)
\( P(H|T^+) = \frac{0.99 \times 0.001}{0.05094} = \frac{0.00099}{0.05094} \approx 0.0194 \)
✅ Sonuç olarak, testi pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı sadece yaklaşık %1.94'tür. Bu, temel oranın (prevalans) düşük olmasından kaynaklanır.
