Soru:
Bir fabrikada üretim 3 makinede yapılmaktadır: A Makinesi (%50), B Makinesi (%30), C Makinesi (%20). Bu makinelerin hatalı üretim oranları sırasıyla %1, %2 ve %3'tür. Rastgele seçilen bir ürünün hatalı olduğu biliniyor. Bu hatalı ürünün B Makinesi'nde üretilmiş olma olasılığı nedir?
Çözüm:
💡 Burada, bir olayın (hatalı üretim) gerçekleştiği bilindiğinde, bu olaya hangi hipotezin (makinenin) sebep olduğunun olasılığını arıyoruz.
- ➡️ 1. Adım: Olayları ve Olasılıkları Tanımlayalım
\( P(A) = 0.50 \), \( P(B) = 0.30 \), \( P(C) = 0.20 \) (Makineden ürün gelme olasılıkları)
\( P(H|A) = 0.01 \), \( P(H|B) = 0.02 \), \( P(H|C) = 0.03 \) (Hatalı ürün olasılıkları)
İstenen: \( P(B|H) \)
- ➡️ 2. Adım: Toplam Hatalı Ürün Olasılığını (\( P(H) \)) Bulalım
\( P(H) = P(H|A)P(A) + P(H|B)P(B) + P(H|C)P(C) \)
\( P(H) = (0.01 \times 0.50) + (0.02 \times 0.30) + (0.03 \times 0.20) \)
\( P(H) = 0.005 + 0.006 + 0.006 = 0.017 \)
- ➡️ 3. Adım: Bayes Teoremini Uygulayalım
\( P(B|H) = \frac{P(H|B) \times P(B)}{P(H)} \)
\( P(B|H) = \frac{0.02 \times 0.30}{0.017} = \frac{0.006}{0.017} \approx 0.3529 \)
✅ Sonuç olarak, rastgele seçilen bir hatalı ürünün B Makinesi'nden gelme olasılığı yaklaşık %35.29'dur.
