Soru:
Bir oyunda iki zar atılıyor. Zarların toplamının 8 olduğu biliniyor. Bu durumda, zarlardan birinin 5 gelmiş olma olasılığı kaçtır?
(İpucu: Toplamı 8 olan tüm durumları listeleyerek çözebilirsiniz.)
Çözüm:
💡 Bu soru, Bayes Teoreminin temel olasılık problemlerinde nasıl kullanılabileceğini göstermek için basit ve güzel bir örnektir.
- ➡️ 1. Adım: Olayları Tanımlayalım
A Olayı: Zarlardan en az birinin 5 gelmesi.
B Olayı: Zarların toplamının 8 olması.
İstenen: \( P(A|B) \)
- ➡️ 2. Adım: Olası Tüm Durumları ve Koşullu Durumları Listeleyelim
B Olayı (Toplam=8) için olası durumlar: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Yani \( P(B) \) için 5 olası durum var.
A ve B Olayının kesişimi (En az bir 5 VE toplam 8): (3,5) ve (5,3). Yani \( P(A \cap B) \) için 2 olası durum var.
- ➡️ 3. Adım: Bayes Teoremini veya Koşullu Olasılık Formülünü Uygulayalım
Koşullu olasılık formülü aslında Bayes Teoreminin özüdür: \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
Tüm eş olasılıklı 36 durum olduğundan:
\( P(A \cap B) = \frac{2}{36} \)
\( P(B) = \frac{5}{36} \)
\( P(A|B) = \frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}} = \frac{2}{5} \)
✅ Sonuç olarak, zarların toplamının 8 olduğu bilindiğinde, zarlardan birinin 5 gelmiş olma olasılığı \( \frac{2}{5} \) veya %40'tır.
