Soru:
Bir çekmecede 3 adet para vardır:
- Para 1: İki yazılı (HH)
- Para 2: İki turalı (TT)
- Para 3: Düzgün bir para (HT)
Çekmeceden rastgele bir para seçiliyor ve atılıyor. Para atışı tura geliyor. Seçilen paranın "iki turalı para" olma olasılığı nedir?
Çözüm:
💡 Olayları tanımlayalım:
- P1: İki yazılı parayı seçmek
- P2: İki turalı parayı seçmek
- P3: Düzgün parayı seçmek
- T: Atış sonucunun tura gelmesi
- ➡️ 1. Adım: Önsel (prior) olasılıklar eşittir çünkü para rastgele seçilir: \( P(P1) = P(P2) = P(P3) = \frac{1}{3} \)
- ➡️ 2. Adım: Her paradan tura gelme olasılıklarını yazalım:
\( P(T|P1) = 0 \) (Bu paranın tura gelme şansı yok)
\( P(T|P2) = 1 \) (Bu para her zaman tura gelir)
\( P(T|P3) = 0.5 \) (Düzgün para)
- ➡️ 3. Adım: İstenen \( P(P2|T) \)'dir. Bayes Teoremini uygulayalım:
\( P(P2|T) = \frac{P(T|P2) \cdot P(P2)}{P(T)} \)
- ➡️ 4. Adım: \( P(T) \)'yi, yani toplam tura gelme olasılığını bulalım.
\( P(T) = P(T|P1)P(P1) + P(T|P2)P(P2) + P(T|P3)P(P3) \)
\( P(T) = (0 \times \frac{1}{3}) + (1 \times \frac{1}{3}) + (0.5 \times \frac{1}{3}) = 0 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \)
- ➡️ 5. Adım: Tüm değerleri formülde yerine koyalım:
\( P(P2|T) = \frac{1 \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \)
✅ Sonuç: \( P(P2|T) = \frac{2}{3} \). Tura geldiği bilindiğinde, seçilen paranın iki turalı para olma olasılığı 2/3'tür.
